La géométrie riemanienne

Euclide écrit ces 5 postulats dans Les Eléments (300 av. J.C.) :

1 - Deux points déterminent une ligne.
2
- Une ligne droite peut être étendue sans limite.
4
- Tous les angles droits sont égaux.
5
- Soit un point P et une droite (D), il y a une et une seule droite passant par P parallèle à (D).

La géométrie non-euclidienne est celle qui réfute le 5èmepostulat. Ce postulat peut être réfuté de deux façons :
Soit un point P et une droite (D), il n'existe pas de ligne parallèle à (D) passant par P. Cela donne naissance à la géométrie sphérique/elliptique (Riemann). Pas de parallèle possible.
Soit un point P et une droite (D), il existe une infinité de lignes parallèles à (D) passant par P. Cela donne naissance à la géométrie hyperbolique (Lobachevsky/Bolyai).

En géométrie riemannienne, l'espace n'est plus plat (contrairement à la géométrie euclidienne) mais peut être considéré comme ayant la forme d'une sphère ou d'un cylindre. La courbe la plus courte entre deux points sur une telle surface est appelée un géodésique minimal. Il peut y avoir plusieurs géodésiques minimales entre deux points.

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